Wahrscheinlichkeit

[engl. probability; lat. probabilis glaubhaft, tauglich, wahrscheinlich], [FSE], gibt die Sicherheit an, mit der ein Ereignis eintreten wird. In der Wahrscheinlichkeitstheorie wird dieser Begriff präzisiert, um aus der Wahrscheinlichkeit für einfache Ereignisse die Wahrscheinlichkeit von komplexeren Ereignissen berechnen zu können. Wenn bspw. die Wahrscheinlichkeit für die Geburt einer Tochter p = ,48 ist, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass bei fünf Kindern genau ein Sohn und vier Töchter geboren werden? Bei der Def. von Ereignissen geht man i. d. R. von einem Stichprobenraum Ω aus, der alle Elementarereignisse  eines Zufallsexperiments enthält. Bei einem Würfelwurf wäre der Stichprobenraum Ω = {1,2,3,4,5,6}. Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu def.

Gleich wahrscheinliche Elementarereignisse: Wenn alle n Elementarereignisse die gleiche Auftretensw. besitzen, so ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis gleich  =1/n. Bspw. ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem ausbalancierten Würfel eine 5 zu würfeln, gleich 1/6. Diese intuitiv leicht nachvollziehbare Def. ist allerdings auf gleich wahrscheinliche Ereignisse beschränkt und außerdem zirkulär, da sie von dem Begriff «gleiche Auftretenswahrscheinlichkeit» ausgeht.

Relative Häufigkeit bei unendlich oft wiederholbarem Zufallsexperiment: Eine ebenfalls eingängige Def. von Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis geht von dessen Auftretenshäufigkeit n() bei N identisch wiederholbaren Zufallsexperimenten aus. Angenommen, bei einem nicht ausbalancierten Würfel seien die versch. Ausgänge nicht gleich wahrscheinlich, dann könnte man die Wahrscheinlichkeit für eine best. Augenzahl folgendermaßen def.

Das Problem bei dieser Def. ist jedoch, dass sie sich nur auf beliebig oft wiederholbare Zufallsexperimente anwenden lässt und so bspw. die sog. subj. Wahrscheinlichkeit ausschließt, die auch bei nicht wiederholbaren Zufallsexperimenten formuliert werden kann.

Axiomatische Definition von Wahrscheinlichkeit: Kolmogorov definiert das Konzept der Wahrscheinlichkeit axiomatisch. Der Vorteil dieser axiomatischen Def. ist, dass sie sowohl auf subj. Wahrscheinlichkeit als auch auf ungleich wahrscheinliche Elementarereignisse anwendbar ist. Die drei Axiome dieser Def. sind:

Axiom 1. Jedem Ereignis ei wird eine pos. Zahl ( ≥ 0) zugeordnet. Diese Zahl heißt Wahrscheinlichkeit des Ereignisses . In der Praxis entspricht diese Zahl oft der relativen Häufigkeit  des Ereignisses; diese dient dann als eine Annäherung für die wahre Wahrscheinlichkeit P(ei).

Axiom 2. Die Wahrscheinlichkeit für das sichere Ereignis Ω ist 1, d. h., P(Ω) = 1. Das sichere Ereignis schließt immer alle Ausgänge eines Zufallsexperiments ein, z. B. alle Seiten bei einem Würfelwurf.

Axiom 3. Für sich gegenseitig ausschließende (nicht gleichzeitig auftreten könnende) Ereignisse ei und ej ist die Wahrscheinlichkeit P(), dass entweder oder eintritt, .

Ein weiterer Vorteil dieser axiomatischen Def. von Wahrscheinlichkeit besteht darin, dass sie nicht nur endliche, sondern auch unendliche und überabzählbare Stichprobenräume einschließt.