Bayes-Theorem im Dorsch Lexikon der Psychologie

Wirtz, Markus

Bayes-Theorem

[engl. Bayes′ theorem/law/rule; Bayesian statistic], [FSE], das Bayes-Theorem formuliert die Möglichkeit zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit des Vorliegens eines Merkmals M unter einer Bedingung B [p(M|B)] aufgrund der Wahrscheinlichkeit der Bedingung B, wenn das Merkmal M [p(B|M)] vorliegt. Sind die Grundwahrscheinlichkeit eines Merkmals p(M) (z. B. p(Erkrankung) = 0,02), die bedingte Wahrscheinlichkeit p(B|M) (lies: p von B unter der Bedingung M; z. B. p(pos. Testergebnis|Erkrankung) = 0,9) und die Grundwahrscheinlichkeit der Bedingung bekannt (z. B. p(pos. Testergebnis) = 0,1), so gilt

$p(M|B)=\frac{p(M)\cdot p(B|M)}{p(B)}=\frac{,02\cdot ,9}{,1}=,18$

Ist statt der Grundwahrscheinlichkeit der Bedingung p(B) die bedingte Wahrscheinlichkeit der Bedingung, wenn das Merkmal nicht vorliegt, bekannt ( $p(B|\bar{M})$ ) (z. B. p(pos. Testergebnis|keine Erkrankung) = 0,08), so gilt

$p(M|B)=\frac{p(M)\cdot p(B|M)}{p(M)\cdot p(B|M)+ (1-p(M))\cdot p(B|\bar{M})}=\frac{,02\cdot ,9}{,02\cdot ,9+,98\cdot ,08}=,18$

In der psychol. Diagnostik und Entscheidungsfindung ist diese Gesetzmäßigkeit von umso höherer Bedeutung, je seltener ein zu diagnostizierendes Merkmal vorliegt. Obwohl ein diagn. Befund hohe Validität besitzt (im Bsp.: 95 % aller Erkrankten haben ein pos. Testergebnis, wohingegen lediglich 8 % der Gesunden pos. getestet werden), resultiert aus der hohen Grundrate von Gesunden (98 %) bzw. geringen Grundrate von Erkrankten (2 %) ein vergleichsweise niedriger Anteil Erkrankter an allen pos. getesteten Pb (18 %). Obwohl ein Test aussgekräftig ist, ist ein/eine Pb nur mit geringer Wahrscheinlichkeit erkrankt, wenn er ein pos. Testergebnis hat. Hieraus folgt, dass bei seltenen Erkrankungen auch hoch valide diagn. Tests aufgrund der hohen Gefahr falsch Pos. (Signalentdeckungstheorie) nur i. S. eines Screenings angewandt bzw. interpretiert werden können. Gigerenzer (2002) konnte zeigen, das Pbn bedingte W. sehr viel besser verstehen, wenn statt der W. absolute Häufigkeiten genannt werden. Im Bsp. würde dies bedeuten: «Stellen Sie sich vor, 1000 Personen werden getestet: 20 sind erkrankt, 18 von diesen erhalten ein pos. Testergebnis. 980 sind gesund. Trotzdem erhalten 78 von diesen ein pos. Testergebnis. Wenn also ein pos. Testergebnis vorliegt, ist eine Personen dann eher gesund oder eher krank». Hierdurch kann die valide Interpretation (also insbes. Vermeidung der Gefahr, dass p(M|B) und p(B|M) gleichgesetzt werden) systematisch entgegengewirkt werden.

Referenzen und vertiefende Literatur

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